Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, con il cateto AB lungo 4 cm, il cateto AC 3 cm e l’ipotenusa BC lunga 5 cm.

Prendiamo come unità di misura u = 1 cm

Abbiamo costruito un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo. Possiamo constatare che:

1)      L’area del quadrato costruito sul cateto maggiore misura 16 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 16 cm² = 4²

2)      L’area del quadrato costruito sul cateto minore misura 9 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 9 cm² = 3²

3)      L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa misura 25 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 25 cm² = 5²

Ci accorgiamo che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

25 cm² = 16 cm² + 9 cm²

Questa caratteristica è valida per tutti i triangoli rettangoli?

Nel VI secolo a. C. il matematico e filosofo greco Pitagora enunciò il suo teorema (si tratta di una proposizione dimostrabile logicamente partendo da un’ipotesi per giungere alla tesi) generalizzando questa proprietà a tutti i triangoli rettangoli. Il teorema di Pitagora ci dice infatti che in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Qual è l’utilità di questo teorema? E’ quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due lati.

Dal teorema di Pitagora possiamo ricavare la seguente formula, indicando con Cil cateto maggiore, con c il cateto minore e con i l’ipotenusa:

C² + c² = i²

Da questa formula possiamo derivare le altre due

i² – c² = C²

i² – C² = c²

E’ evidente che utilizzando queste tre formule possiamo ricavare la misura di ciascun lato di qualunque triangolo rettangolo, conoscendo al misura degli altri due.

Immaginiamo di avere questo triangolo 

Poiché nelle formule indicate sopra si ricava la misura dei lati elevati al quadrato, sarà sufficiente eseguire l’operazione opposta all’elevamento a potenza, cioè l’estrazione di radice quadrata.

Le tre formule quindi diventano:

 

Se vogliamo trovare l’ipotenusa, conoscendo i due cateti, dobbiamo sommare il quadrato delle misure dei due cateti ed estrarre la radice quadrata della somma ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

 

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Se vogliamo trovare la misura di uno dei due cateti, conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto, dobbiamo calcolare la differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa ed il quadrato del cateto noto ed estrarre la radice quadrata della differenza ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

ESERCIZI

·        Abbiamo un triangolo rettangolo di cui sappiamo che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il perimetro e l’area del triangolo?

·        Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo.

·        Di un triangolo rettangolo conosciamo che l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm. L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui vogliamo conoscere le misure. 

·        Un triangolo rettangolo ha un cateto di 14 cm e l’area di 73,5 cm². L’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo di partenza in due triangoli. Calcola l’area di ciascuno dei due triangoli.