LE QUATTRO OPERAZIONI

QUANTE SONO LE OPERAZIONI

Cominciamo con la più semplice delle domande: quante sono le operazioni ?

Penso che tutti siano in grado di citarne quattro, almeno in ordine sparso:

moltiplicazione ( x )
somma ( + )
divisione ( : )
sottrazione ( - ).

Io aggiungo anche

potenza ( o²)
radice ( √ )

e vedremo tra poco che queste sei operazioni hanno tra di loro dei legami e delle gerarchie importanti, anzi fondamentali.

Ma prima di tutto chiediamoci:

quanti numeri servono per fare una operazione?

La risposta più frequente è “almeno due”, ma è sbagliata o almeno inesatta, perché per fare UNA operazione servono DUE numeri, né di più né di meno!

3 x 2 = 6

4 + 5 = 9

6 : 2 = 3

9 – 2 = 7

2³ = 8

√25 = 5

Quindi 2 + 3 + 4 non rappresenta UNA operazione ma DUE operazioni, anzi è una piccola “espressione aritmetica (o algebrica)”.

Più complicato è dire COSA sono le operazioni. Per il momento mi limito a chiedermi:

COSA HANNO IN COMUNE TUTTE LE OPERAZIONI ?

Senza entrare in troppe inutili e complicate spiegazioni dirò che le operazioni sono come delle “ricette culinarie” che, anche se usano gli stessi elementi di base, danno delle “pietanze” diverse a seconda di come vengono cucinati gli ingredienti.

Cerco di spiegarmi meglio: lo stesso pollo posso farlo arrosto, lesso, fritto, in umido o in centomila altri modi, solo cambiando la ricetta.

Lo stesso succede in matematica: usando i numeri 16 e 2 posso ottenere:

16 + 2 = 18

16 – 2 = 14

16 x 2 = 32

16 : 2 = 8

16²= 256

√16 = 4

Quindi ogni singola operazione con le sue regole specifiche (la sua propria ricetta) prende DUE numeri e li taglia, li trita, li bolle, li ripassa in padella e poi ci sforna il risultato. Oppure, se prefrite, possiamo dire che:

1.1-1 ogni OPERAZIONE è un LEGAME che unisce (o fonde o mescola o amalgama insieme) DUE numeri e al loro posto ce ne fornisce UN altro (il risultato).

LE RELAZIONI TRA LE OPERAZIONI

Per prima cosa è abbastanza intuitivo vedere la parentela orizzontale che le raggruppa a coppie:

1. somma e sottrazione

2. moltiplicazione e divisione

3. potenza e radice

in quanto in ogni singola coppia ogni operazione è l’inverso dell’altra.

Prendiamo la coppia numero 1 ( somma e sottrazione ): si può sempre trovare una sottrazione che elimina l’effetto di una o più somme e viceversa:

prendo il numero 100, sommo 5 e trovo 105 100 + 5 = 105

poi sottraggo 5 e torno a 100 105 – 5 = 100

Quindi 100 più 5 meno 5 fà 100: 100 + 5 – 5 = 100

Inoltre posso eseguire queste DUE operazioni nell’ordine che preferisco:

prima 100 + 5 = 105 poi 105 – 5 = 100

oppure 100 – 5 = 95 poi 95 + 5 = 100

Ora prendo il numero 100, sommo 5 poi 3 poi 4 e trovo 112

100 + 5 + 3 + 4 = 112.

Se ora sottraggo 12 ritorno al numero di partenza, cioè 100

112 – 12 = 100

Analogo discorso per la coppia n.2 moltiplicazione e divisione:

100 x 5 = 500

500 : 5 = 100

per cui: 100 x 5 : 5 = 100.

L’espressione 8 x 6 : 2 la posso risolvere come voglio:

prima 8 x 6 = 48 poi 48 : 2 = 24

oppure 8 : 2 = 4 poi 6 x 4 = 24

o anche 6 : 3 = 3 poi 8 x 3 = 24

Infine:

(√16)² = 16 come pure √(16)² = 16.

Concludendo possiamo dire che tra di loro

1. somma e sottrazione

2. moltiplicazione e divisione

3. potenza e radice

sono “parenti” strette e sono l'una l'inverso dell'altra.

LA SCALA GERARCHICA DELLE OPERAZIONI

Abbiamo visto che quando abbiamo delle espressioni algebriche che contengono solo operazioni parenti tra loro (le famose coppie 1, 2, 3) possiamo eseguirle nell’ordine che preferiamo ed il risultato non cambia.

Faccio un esempio: per calcolare

4 + 5 - 2 + 3 – 1 +8 – 7 + 9 = ?

posso seguire l’ordine in cui è scritta l’espressione, cioè:

4+5=9 > 9-2=7 > 7+3=10 > 10-1=9 > 9+8=17 > 17-7=10 > 10+9=19

oppure posso sommare tutti i numeri positivi +4 + 5 + 3 + 8 + 9 = 29

poi tutti quelli negativi 2 + 1 + 7 = 10

e poi fare una sola sottrazione 29 – 10 = 19

o qualunque altra sequenza di calcolo che il risultato sarà sempre e soltanto 19.

Ma cosa succede quando nella stessa espressione trovo operazioni che appartengono a coppie diverse (situate su piani diversi)?

Prendiamo la semplice espressione

3 x 4 + 2 = ?

Posso ancora scegliere in quale ordine fare le operazioni? Proviamo:

se faccio prima 3 x 4 = 12 poi 12 + 2 ottengo 14

invece se faccio 4 + 2 = 6 poi 3 x 6 trovo 18

>>>>>>>>>> PANICO !!!!! <<<<<<<<<<

l’espressione 3 x 4 + 2 = ? farà 14 o 18 ?????

Ma c’è di peggio:

3 + 2 = 5 > 5 x 4 = 20

4 x 2 = 8 > 8 + 3 = 11

3 x 2 = 6 > 6 + 4 = 10

Significa forse che la matematica è solo una opinione? Quale sarà la risposta giusta? Ma soprattutto: PERCHE’ scegliere un risultato anziché un altro o meglio QUALE è la procedura giusta?

Penso che quasi tutti diranno che la risposta è “14” perché si fa prima la moltiplicazione e poi la somma ma la mia domanda esistenziale rimane la stessa:

PERCHE’ SI DEVE FARE PRIMA LA MOLTIPLICAZIONE DELLA SOMMA?

E se a me tornasse più comodo fare prima la somma, chi me lo può impedire?

Per trovare la risposta possiamo fare in diversi modi. Cominciamo domandandoci se la matematica DEVE rispettare la realtà delle cose o se la è realtà ad essere schiava dei risultati algebrici. La risposta ovvia è che la matematica serve a darci degli strumenti tecnici che ci aiutino nella vita di tutti i giorni e pertanto DEVE darci dei risultati CERTI e IMMUTABILI e soprattutto al di sopra di ogni interpretazione fantasiosa o, peggio, faziosa o ingannevole.

Quindi caliamoci nella quotidianità:

al Supermercato acquisto 3 confezioni di lattine di birra da quattro pezzi, più due lattine sfuse.

Se vado alla cassa (prima di averle bevute tutte per evitare di perdere la cognizione del tempo e dello spazio) quante lattine dovrò pagare?