Risoluzione di una proporzione

Risolvere una proporzione significa calcolare il valore del termine o dei termini incogniti, utilizzando i termini noti.
Vediamo le diverse situazioni che possono presentarsi.
  • L’incognita è un estremo, conosciamo gli altri tre termini.
8 : 5 = 24 : x
In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:
8 . x = 24 . 5 e quindi
8 . x = 120 per cui
x = 120/8 = 15
Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto dei medi e poi l’abbiamo diviso per l’estremo noto.
Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.
  • L’incognita è un medio, conosciamo gli altri tre termini.
25 : 15 = x : 5
In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:
15 . x = 25 . 5 e quindi
15 . x = 125 per cui

  

Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto degli estremi e poi l’abbiamo diviso per il medio noto.
Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.
  • La proporzione è continua (i medi sono uguali e si dicono medi proporzionali), l’incognita è il medio proporzionale, conosciamo i due estremi.
32 : x = x : 2
In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:
32 . 2 = x2 e quindi
64 = x2 per cui

  

Notiamo che abbiamo calcolato la radice quadrata del prodotto degli estremi.
Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.
Può accadere che una proporzione si presenti in forma diversa dalle tre che abbiamo visto ora: in un prossimo post vedremo come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che abbiamo visto oggi, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio, che quindi sappiamo calcolare.
ESERCIZI

 

ALTRI CASI
Riprendiamo il discorso sulla risoluzione delle proporzioni vedendo, come anticipato nel precedente post,  come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che già conosciamo, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio.
Consideriamo questo caso:
(56 – x) : x = 35 : 5
Se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.
Possiamo farlo applicando la proprietà del comporre (nel nostro caso la somma del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la somma del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).
(56 – x + x) : x = (35 + 5) : 5 da cui
56 : x = 40 : 5 per cui
Vediamo un’altra situazione:
48 : 12 = (42 + x) : x
Anche in questo caso se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.
Possiamo farlo applicando la proprietà dello scomporre(nel nostro caso la differenza del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la differenza del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).
(48 – 12) : 12 = (42 + x – x) : x da cui
36 : 12 = 42 : x per cui
Se in una proporzione i termini mancanti sono due (ad esempio x e y) possiamo risolvere la proporzione solo se conosciamo la somma o la differenza dei due termini incogniti.
Consideriamo la proporzione:
x : y = 4 : 7 sapendo che x + y = 33
Conoscendo la somma dei due termini possiamo applicare la proprietà del comporre
(x + y) : x = (4 + 7) : 4 da cui deriva
33 : x = 11 : 4 per cui
Per trovare il valore di y basta togliere dalla somma 33 il valore di x
y = 33 – 12 = 21
La proporzione è diventata 12 : 21 = 4 : 7
Consideriamo ora invece quest’altra proporzione:
x : y = 49 : 7 sapendo che x - y = 54
Conoscendo la differenza dei due termini possiamo applicare la proprietà dello scomporre
(x - y) : x = (49 - 7) : 49 da cui deriva
54 : x = 42 : 49 per cui
Per trovare il valore di y basta pensare che y = x – 54 e che quindi y = 63 – 54 = 9
La proporzione è diventata 63 : 9 = 49 : 7
ESERCIZI
Applica le proprietà delle proporzioni e risolvi
·      (12 + x) : 29 = x : 5
·      x : 18 = (15 – x) : 27