Il Piano Cartesiano

Ricordiamo alcuni concetti.
Due semirette orientate perpendicolari, su cui è individuata una unità di misura, si chiamano assi cartesiani. L’asse orizzontale è l’asse delle ascisse o asse x, l’asse verticale è l’asse delle ordinate o asse y.
Un punto del piano cartesiano è definito da una coppia ordinata di numeri, detti coordinate cartesiane: il primo è sull’asse x, il secondo è sull’asse y.

 

Il piano su cui è stabilito un sistema di riferimento cartesiano si dice piano cartesiano.
Il piano cartesiano risulta diviso dai due assi x e y in quattro parti dette, in senso antiorario, I, II, III, IV quadrante.
Possiamo vedere dall’immagine sopra le coordinate dei punti segnati e fare alcune osservazioni:
A (+2,+6)
Tutti i punti appartenenti al I q. hanno sia ascissa che ordinata positivi
B (-8, +6)
Tutti i punti appartenenti al II q. hanno ascissa negativa e ordinata positiva
C (-6, -2)
Tutti i punti appartenenti al III q. hanno sia ascissa che ordinata negative
D (+4, - 6)
Tutti i punti appartenenti al IV q. hanno ascissa positiva e ordinata negativa
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Vediamo alcune altre osservazioni, partendo dalle coordinate dei punti A, B e C.
A = (-6, -4)
B = (-2, -4)
C = (+4, - 4)
Notiamo che punti che hanno un’uguale ordinata (-4) appartengono ad una retta r parallela all’asse x, distante 4 u dall’asse x.
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Vediamo alcune altre osservazioni, partendo dalle coordinate dei punti A, B e C.
A = (-5, +5)
B = (-5, +1)
C = (-5, - 3)
Notiamo che punti che hanno un’uguale ascissa (-5) appartengono ad una retta r parallela all’asse y, distante 5 u dall’asse y.
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Come si calcola la distanza di due punti in un sistema di riferimento cartesiano?
Osserviamo il caso in cui i due punti  appartengono ad una retta r parallela all’asse y.


Rappresentiamo i punti A (-3; + 5) e B (-3; -3).
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm vediamo che la distanza è di 8 cm, che è anche la differenza delle ordinate di A e B.
(+5) – (-3) = 8 cm
possiamo dunque dire che la distanza di due punti che sono allineati su una retta parallela all’asse y è data dalla differenza, in valore assoluto, delle ordinate.
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Osserviamo ora il caso in cui i due punti  appartengono ad una retta r parallela all’asse x.


Rappresentiamo i punti A (-6; -6) e B (+4; -6).
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm vediamo che la distanza è di 10 cm, che è anche la differenza delle ascisse di A e B.
(-6) – (+4) = 10 (lavorando sulle misure se il risultato è negativo si considera il valore assoluto)
possiamo dunque dire che la distanza di due punti che sono allineati su una retta parallela all’asse x è data dalla differenza, in valore assoluto, delle ascisse.
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Osserviamo infine il caso in cui i due punti  non appartengono ad una stessa retta.

Rappresentiamo i punti A (+3; -3) e B (-6; +4). Individuiamo ora il punto P (-6; -3)
Facendo corrispondere l’unità di misura u ad 1 cm costruiamo il triangolo rettangolo PBA ed applichiamo il teorema di Pitagora.




ESERCIZI
·      A quale quadrante del piano cartesiano appartengono i seguenti punti:
 
I
II
III
IV
(-5; +4) 
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(+5; +2) 
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(+4; -3) 
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(-3; -5) 
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·      Determina le coordinate dei punti rappresentati sul piano cartesiano.

 

·      Tre dei seguenti punti, di cui conosci le coordinate, appartengono a una stessa retta parallela all’asse y. Quali sono?
A(-3; 2)           B(3; -4)           C(-4; 1)
D(3; 7)            E(4; 2)            F(-6; 0)
G(3; 1)            H(1; 3)            I(-2; -2)
 
·      Tre dei seguenti punti, di cui conosci le coordinate, appartengono a una stessa retta parallela all’asse x. Quali sono?
A(-6; -3)          B(4; 2)                        C(6; 3)
D(1; -3)           E(8; -3)           F(1; 3)
G(-4; 4)           H(3; 0)            I(-3; -2)
 
·    Rappresenta sul piano cartesiano le coppie di punti indicate e calcolane la distanza facendo corrispondere l’unità di misura  a un centimetro.
A(-3;0)            B(-4;0)
C(-3; -3)          D(-3; +7)
E(-5; -4)          F(7; 1)
·    Calcola perimetro ed area del poligono che si ottengono congiungendo, nell’ordine dato, i seguenti gruppi di punti.
A(-6; 1)           B(6; 1)                        C(0; 7)
A(-3; 3)           B(-3; -6)          C(1; -3)           D(1; 3)