Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  ed operiamo con queste frazioni sulla medesima grandezza, questa:

Otteniamo:

Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale, abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre casi.

Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  sono equivalenti e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.

Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?

Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che

Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.

E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.

Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:

A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette alcuni utilizzi molto importanti.

Ad esempio permette di semplificare una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è più semplice operare.

Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.

Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi modi.

Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra loro.

Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27; 20/7; 25/20

Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere una frazione equivalente ed irriducibile.

Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.

Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile. 

Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.

Vediamo un esempio:

Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126

48 = 2⁴ x 3                  126 = 2 x 3² x 7

M.C.D. = 2 x 3 = 6

Un altro esempio

Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150

45 = 3² x 5                  150 = 2 x 3 x 5²

M.C.D. = 3 x 5 = 15

ESERCIZI

·     Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?

·     Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile?

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti

2/3; 6/7; 4/6; 3/2; 6/8; 6/9; 12/18; 18/21;

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili

20/30; 5/3; 4/8; 7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili

12/18; 6/5; 3/14; 9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24

·     Completa le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro

·     Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:

34/126; 66/77; 15/50; 27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200