IL m.c.m.

Mentre l’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito, l’insieme dei multipli di un numero, escluso zero, è un insieme infinito.

Consideriamo ad esempio i numeri 4, 5, 6.

I multipli di 4 sono: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, …….}

I multipli di 5 sono: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, ……….}

I multipli di 6 sono: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, ……….}

Notiamo che ci sono dei multipli comuni ai tre numeri: 60, 120, …..

Il minimo comune multiplo è il minore tra i multipli comuni perciò possiamo dire che

m.c.m. (4; 5; 6) = 60

Possiamo quindi dire che il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati, escludendo lo zero.

Esistono diversi metodi per il calcolo del m.c.m.

Cominciamo, anche in questo caso, dal metodo insiemistico

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 8 e 12.

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 8.

M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ….}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 12.

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 15, 20, 30.

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 15.

M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, ……..}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 20.

M (20) = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …….}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 30.

M (30) = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, ……}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.

M (15) ÇM (20) ÇM (30) = {60, 120, 180 ……}

m.c.m. (15, 20, 30) = 60

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei multipli dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il m.c.m sarà l’elemento minore dell’insieme intersezione.

M (12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ….}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei due insiemi precedenti.

M (8) ÇM (12) = {24, 48, 72, 96, 120, ……}

m.c.m. (8, 12) = 24

Esaminiamo ora il metodo della scomposizione in fattori primi,

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 14, 18 e 20.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.

14 = 2 x 7

18 = 2 x 3²

20 = 2² x 5

m.c.m (14, 18, 20) = 2² x 3²x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 150, 400, 500.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.

150 = 2 x 3 x 5²

400 = 2⁴ x 5²

500 = 2² x 5³

m.c.m (150, 400, 500) = 2⁴ x 3x 5³ = 16 x 3 x 125 = 6 000

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si scompongono i numeri dati in fattori primi e il m.c.m. sarà il prodotto dei fattori comuni e non comuni considerati con il maggiore esponente.

ESERCIZI

· Che cos’è il m.c.m. fra due o più numeri?

· Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:

a) 12, 24, 36; b) 12, 15, 60;

c) 15, 30, 45; d) 16, 32, 40;

· Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

a) 25, 40; b) 135, 315;

c) 350, 550, 770; d) 315, 216, 504;

· Calcola il M.C.D. ed il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

a) 360, 450, 720; b) 270, 405, 540;