Consideriamo e risolviamo questo problema:

“Un caseificio ha 4 corridoi destinati alla vendita della mozzarella. In ogni corridoio ci sono 4 scaffali. Ogni scaffale è composto da 4 ripiani. Su ogni ripiano vengono messe 4 confezioni di mozzarella ed ogni confezione contiene 4 mozzarelle. Quante sono in tutto le mozzarelle?”

Potremmo risolvere in questo modo:

4 x 4 = 16 n° scaffali

16 x 4 = 64 n° totale ripiani

64 x 4 = 256 n° totale confezioni di mozzarella

256 x 4 = 1024 n° totale mozzarelle

L’operazione risolutiva è quindi:

4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024

Notiamo che il fattore 4 è stato moltiplicato per se stesso 5 volte. Potremmo esprimere questa operazione anche così: 4⁵

Abbiamo fatto un elevamento a potenza, cioè un’operazione in cui abbiamo moltiplicato la base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.

4⁵ si legge “quattro alla quinta”

5² = 5 x 5 = 25 e si legge “cinque alla seconda(o al quadrato) uguale 25”

3³ = 3 x 3 x 3 = 27 e si legge “tre alla terza (o al cubo) uguale 27”

6⁴ = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296 e si legge “sei alla quarta uguale 1296”

Come le quattro operazioni già analizzate, anche le potenze godono di alcune proprietà:

·        Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti

3⁴ x 3⁵ = 3⁴⁺⁵ = 3⁹

2³ x 2² = 2³⁺² = 2⁵

·        Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi

2⁴ x 3⁴ = (2 x 3)⁴ = 6⁴

2³ x 5³ = (2 x 5)³ = 10³

·        Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti

4⁵ : 4³ = 4^5-3= 4²

2³ : 2² = 2^3-2 = 2¹

·        Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi

6⁴ : 3⁴ = (6 : 3)⁴ = 2⁴

15³ : 5³ = (15 : 5)³ = 3³

·        Se troviamo questo calcolo

(2²)³ siamo di fronte alla potenza di una potenza, che si legge “2 alla seconda elevato alla terza”.

(2²)³ = 2² x 2² x 2² =

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  = 2⁶

Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti

(3⁴)² = 3^{4 x 2} = 3⁸

(5¹)² = 5^{1 x 2} = 5²

·        La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 1 è uguale al numero stesso

5^{1 =} 5

12^{1 =} 12

·        La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 0 è sempre uguale ad 1

5^{0 =} 1

12^{0 =} 1