Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x² - y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a²  – 4b²

In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³ =

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a^2 . 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a^2 . (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³