Sappiamo già che ogni equazione del tipo y = mx + p (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) ha come equazione una retta. Sappiamo anche che il termine noto (p in questo caso) rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta incontra l’asse y.

Ne deduciamo che se p = 0 la retta incontra l’asse y nel punto 0 del piano cartesiano, è dunque una retta che passa per l’origine degli assi.

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = + 4x(colore rosso)

Completiamo la tabella dei valori

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = - 3x(colore blu)

Completiamo la tabella dei valori

Rappresentiamo, ad esempio, nel piano cartesiano la retta di equazione y = - 1/2 x (colore verde)

Completiamo la tabella dei valori

Vediamo che si tratta di rette tutte passanti per l’origine degli assi. Possiamo quindi dire che l’equazione di una retta passante per l’origine degli assi è un’equazione del tipo y = mx

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Individuiamo ora sul piano cartesiano i punti  A(- 2; + 3),  B(+ 1; +3)      C(+ 3; +3)

Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ordinata (+3), appartengono tutti ad una stessa retta r parallela all’asse x, distante 3 u dall’asse x.

Individuiamo adesso sul piano cartesiano i punti  D(- 2; - 2),    E(+ 3; - 2)      F(+ 4; - 2)

Anche questi punti, avendo la stessa ordinata (- 2), appartengono tutti ad una stessa retta s parallela  all’asse x.

Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ordinata uguale a + 3, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse x è y = +3.

Possiamo anche  vedere che la retta s è formata da tutti i punti con ordinata uguale a - 2, quindi l’equazione della retta s parallela all’asse x è y = - 2.

Possiamo quindi concludere affermando  che l’equazione di una retta parallela all’asse x è un’equazione del tipo y = m (con m che indica qualsiasi numero relativo)

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Individuiamo sul piano cartesiano i punti  A(+ 4; + 3), B(+ 4; + 1)     C(+ 4; - 3)

Sappiamo già che questi punti, avendo la stessa ascissa (+4), appartengono tutti ad una stessa retta r parallela all’asse y, distante 4 u dall’asse y.

Individuiamo sul piano cartesiano i punti  D(- 3; + 3),  E(- 3; - 2)        F(- 3; - 4)

Anche questi punti, avendo la stessa ascissa (- 3), appartengono tutti ad una stessa retta s parallela  all’asse y.

Possiamo vedere che la retta r è formata da tutti i punti con ascissa uguale a + 4, quindi l’equazione della retta r parallela all’asse y è x = + 4.

Possiamo anche  vedere che la retta s è formata da tutti i punti con ascissa uguale a - 3, quindi l’equazione della retta s parallela all’asse y è x = - 3.

Possiamo quindi concludere affermando  che l’equazione di una retta parallela all’asse y è un’equazione del tipo x = m (con m che indica qualsiasi numero relativo).

Rette parallele

Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.

La retta r ha l’equazione y = 3x – 2 per cui avremo

La retta s ha l’equazione y = 3x + 2 per cui avremo

Le due rette sono parallele; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che è uguale il coefficiente angolare (+3) e, di conseguenza, le due rette devono avere la medesima inclinazione rispetto all’asse x e quindi essere parallele.

Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p ed y = m’x + p’ (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) sono parallele solo se m = m’, cioè se hanno lo stesso coefficiente angolare.

Rette perpendicolari

Rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette r e s.

La retta r ha l’equazione y = - 4x  per cui avremo

La retta s ha l’equazione y = + 1/4x  per cui avremo

Le due rette sono perpendicolari; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che i coefficienti angolari sono opposti ed inversi.

Rappresentiamo ora in un piano cartesiano le due rette a e b.

La retta a ha l’equazione y = + 2x - 1  per cui avremo

La retta b ha l’equazione y = - 1/2x + 2 per cui avremo

Anche in questo caso le due rette sono perpendicolari; se osserviamo le due equazioni ci accorgiamo che anche stavolta i coefficienti angolari sono opposti ed inversi.

Possiamo dunque affermare che due rette di equazione y = mx + p ed y = m’x + p’ (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) sono perpendicolari solo se i coefficienti angolari sono uno l’opposto e l’inverso dell’altro.

EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

In un piano cartesiano rappresentiamo i punti A (+2; + 3) e B (+5; + 2) e la retta r che li unisce. 

L’equazione della retta r è data dall’equazione 

in cui possiamo vedere che il numeratore della prima frazione è costituito dalla differenza fra y e l’ordinata del punto A, il denominatore  dalla differenza tra l’ordinata del punto B e quella del punto A; nella seconda frazione il numeratore è dato dalla differenza tra x e l’ascissa del punto A, il denominatore dalla differenza tra l’ascissa del punto B e quella del punto A. Generalizzando possiamo affermare che l’equazione di una retta passante per due punti A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂) è data dalla seguente formula:

Vediamo un altro esempio:

Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti A(2; 1) e B(-1; 2) 

 

ESERCIZI

·      Per ogni retta di cui è data l’equazione, indica se è parallela all’asse x o all’asse y.

y = - 4             x = 5                y = 1/3             x = - 2

·      Indica quali, fra le seguenti rette, sono tra loro parallele

y = - ¼ x + 5              y = ¼ x + 5                y = - ¼ x – 2/3            y = 4x – 1/5

·      Indica quali, fra le seguenti rette, sono tra loro perpendicolari

y = 4x – 1/3                y = - 4x – 3                 y = - 1/4x + 3             y = 1/4x + 1/3

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(1; 2) e B (2 ; 3) e rappresentala nel piano cartesiano

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A( 2; 2) e B ( 3 ; 3) e rappresentala nel piano cartesiano

·      Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A( - 1; 0) e B ( 1 ; - 1) e rappresentala nel piano cartesiano. In quale punto incontra l’asse x? E l’asse y?