Equazione di parabola e iperbole

Consideriamo l’equazione di secondo grado y = 3x2. Le equazioni di secondo grado hanno come rappresentazione grafica una curva.
Costruiamo la tabella dei valori:
x
0
1
-1
2
- 2
y
0
3
3
12
12
Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:
O(0 ; 0)           A(1; 3)            B(-1; 3)
C(2 ; 12)         D(-2; 12)

 

Congiungendo con una curva i punti otteniamo una parabola in cui l’origine degli assi è il vertice della parabola mentre l’asse y è l’asse di simmetria della parabola.
Consideriamo ora l’equazione di secondo grado y = -3x2. 
Costruiamo la tabella dei valori:
x
0
1
-1
2
- 2
y
0
-3
-3
-12
-12
Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:
O(0 ; 0)           A(1; - 3)                      B(-1; - 3)
C(2 ; - 12)       D(-2; - 12)
Congiungendo con una curva i punti otteniamo ancora una parabola in cui l’origine degli assi è il vertice della parabola mentre l’asse y è l’asse di simmetria della parabola.
La differenza con la parabola precedente consiste nel fatto che la prima parabola ha la concavità rivolta verso l’alto, mentre la seconda ha la concavità rivolta verso il basso.
Generalizzando possiamo dire che un’equazione del tipo y = kx2(indichiamo con k qualsiasi numero relativo) è l’equazione di una parabola con l’asse y come asse di simmetria e come vertice l’origine degli assi: se k > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto (semiasse positivo delle y), se k < 0 la parabola ha la concavità verso il basso (semiasse negativo delle y).
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Consideriamo ora l’equazione di secondo grado xy = 12. 
Costruiamo la tabella dei valori:
x
1
2
3
4
6
12
y
12
6
4
3
2
1
Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:          
A(1; 12)          B(2 ; 6)            C(3 ; 4)           D(4 ; 3)
E(6 ;  2)           F(12 ; 1)
Congiungendo i punti otteniamo una curva che è un ramo di iperbole.
Consideriamo ora la stessa equazione di prima xy = 12 e costruiamo la tabella dei valori considerando anche i valori negativi della x.
x
1
-1
2
-2
3
-3
6
-6
y
12
-12
6
-6
4
-4
2
-2
Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:          
A(1; 12)          B(- 1 ; - 12)     C(2 ; 6)           D(- 2 ; - 6)
E(3 ;  4)           F(- 3 ; - 4)       G(6 ; 2)           H(- 6; - 2)
Vediamo che otteniamo due rami, uno nel I quadrante, l’altro nel III quadrante, simmetrici rispetto all’origine degli assi. Si tratta di una iperbole equilatera.
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Consideriamo ora l’equazione xy = -12 e costruiamo la tabella dei valori considerando anche i valori negativi della x.
x
1
-1
2
-2
3
-3
6
-6
y
-12
12
-6
6
-4
4
-2
2
Rappresentiamo ora nel piano cartesiano i punti:          
A(1; - 12)        B(- 1 ; 12)       C(2 ; - 6)         D(- 2 ; 6)
E(3 ;  - 4)        F(- 3 ; 4)         G(6 ; - 2)         H(- 6; 2)
Vediamo che anche stavolta otteniamo due rami, uno nel II quadrante, l’altro nel IV quadrante, simmetrici rispetto all’origine degli assi. Si tratta di una iperbole equilatera.
Generalizzando possiamo dire che un’equazione del tipo xy = k (indichiamo con k qualsiasi numero relativo) è l’equazione di una iperbole equilatera: se k > 0 l’iperbole giace nel I e III quadrante, se k < 0 l’iperbole giace nel II e IV quadrante.
ESERCIZI
·      Che tipo di linea rappresenta un’equazione del tipo xy = k?
·      Che tipo di linea rappresenta un’equazione del tipo y = kx2?
·      Il grafico di ciascuna delle seguenti parabole ha la concavità rivolta verso il semiasse positivo delle y o verso il semiasse negativo delle y?
a.      y = 1/2x2
b.      y = -7x2
c.       y = -2/3x2
d.      y = 12 x2
·      In quali quadranti si trova il grafico di ciascuna delle seguenti iperbole?
a.      xy = 15
b.      xy = - 2/3
c.       xy = 1
d.      xy = - 10
·      Disegna nel piano cartesiano la parabola di equazione y = ¼ x2
·      Disegna nel piano cartesiano l’iperbole di equazione xy = - 4