Proporzionalità diretta e inversa

Consideriamo due grandezze, ad esempio il lato di un quadrato ed il perimetro dello stesso quadrato.
Chiamiamo x la grandezza variabile “lato di un quadrato” e chiamiamo y la grandezza variabile “perimetro del quadrato”.
Vediamo cosa può succedere:
lato del quadrato
(x)
Perimetro del quadrato 
(y)
5 cm
20 cm
10 cm
40 cm
15 cm
60 cm
Ci accorgiamo che le due grandezze x ed y sono dipendenti perché dalla variazione della prima (x) consegue la variazione della seconda (y).
Vediamo anche che ad ogni valore della x corrisponde uno ed un solo valore della y: diciamo dunque che le grandezze x (variabile indipendente) e y(variabile dipendente) stabiliscono una funzione y = f(x).
Torniamo alla tabella sopra: osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y: il loro rapporto resta dunque costante.
Infatti:
Possiamo affermare che la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente ysono direttamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y.
Vediamo un altro esempio di grandezze direttamente proporzionali
Quantità di merce
(x)
Costo della merce
(y)
1 kg di farina
€ 0,80
2 kg di farina
€ 1,60
3 kg di farina
€ 2,40
Consideriamo ora le seguenti grandezze variabili x e y tali che y = f (x)
Velocità di una macchina
(x)
Tempo impiegato
(y)
50 km/h
90 minuti
100 km/h
45 minuti
150 km/h
30 minuti
Osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.
Osserviamo anche che il prodotto x . y resta costante.
Infatti: 
50 . 90 = 100 . 45 = 150 . 30 = ….. = 4 500
Possiamo affermare che in questo caso la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono inversamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.
Vediamo un altro esempio di grandezze inversamente proporzionali
Numero addetti
(x)
Tempo impiegato in ore
(y)
1 
6
2 
3
3 
2
Vediamo ora la rappresentazione della proporzionalità diretta ed inversa.
Consideriamo il primo esempio fatto di proporzionalità diretta.
lato del quadrato
(x)
Perimetro del quadrato 
(y)
5 cm
20 cm
10 cm
40 cm
15 cm
60 cm
La funzione della proporzionalità diretta  y = f(x) è data dalla formula y = 4x
Il numero 4 è il rapporto costante k ed è quindi il coefficiente di proporzionalità diretta.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano:
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani.
Consideriamo ancora un esempio.
Compiliamo la tabella della funzione data
 (x)
 (y)
0
0
4
3
8
6
Tracciamo il diagramma corrispondente
Consideriamo ora il primo esempio fatto di proporzionalità inversa.
Velocità di una macchina
(x)
Tempo impiegato
(y)
50 km/h
90 minuti
100 km/h
45 minuti
150 km/h
30 minuti
La funzione della proporzionalità inversa  y = f(x) è data dalla formula xy = 4500
Il numero 4500 è il prodotto costante h ed è quindi il coefficiente di proporzionalità inversa.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano.
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una parte di curva detta iperbole equilatera.
Consideriamo ancora un esempio.
Compiliamo la tabella della funzione data
 (x)
 (y)
1
8
2
4
4
2
8
1
Tracciamo il diagramma corrispondente
 
ESERCIZI

 

·      Quando due grandezze si dicono direttamente proporzionali?
·      Quando due grandezze si dicono inversamente proporzionali?
·      Qual è la funzione che esprime la legge di proporzionalità diretta?
·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità diretta?
·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità inversa?
·      Osserva le seguenti funzioni, per ognuna completa la tabella e stabilisci se si tratta di funzioni di proporzionalità diretta o inversa.